Согласно довольно строгим правилам, покрышка обыкновенного спортивного мяча состоит из 32 кусочков в форме правильных выпуклых фигур – 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, расположенных рядом друг с другом так, что они образовывают закрытую пространственную фигуру, которая напоминает сферу. Это, так сказать, спортивное определение футбольного мяча.

А теперь выясняется, что в порядок этой строго заданной фигуры можно вносить самые разнообразные изменения. И от кого бы вы думали исходит этот анархистский импульс? Ни за что не поверите – всё от тех же людей, обожающих точные определения – от математиков.

Как утверждает Иварc Петерсон (Ivars Peterson) в своей статье о матэкспериментах с футбольными мячами, модели этих спортивных снарядов вполне могут быть преобразованы в другие мячи сферической и даже тороидальной формы.

Автор, правда, в оригинале говорит о форме пончика, но, думается, что его утверждение и без того звучит несколько шокирующее.

	Слева — усечённый икосаэдр, справа – футбольный мяч обыкновенный (иллюстрация с сайта en.wikipedia.org).

Дитер Котшик (Dieter Kotschick), математик из Мюнхенского университета (Mathematisches Institut der Universität München), поясняя неожиданную ситуацию, информирует о том, что "для математика футбольный мяч – это интригующая головоломка".

Но тут же он задаётся целым рядом вопросов, о которых нематематик наверняка даже и не задумается: есть ли другой способ расположить кусочки покрышки? Можно ли использовать другие фигуры вместо пяти— и шестиугольников? И вообще, могут ли мячи выглядеть как-то иначе?

Котшик говорит, что футбольный мяч соответствует следующим требованиям, опирающимся на теорию графов:

1. Он является многогранником, состоящим исключительно из пяти— и шестиугольников;

2. Пятиугольники своими сторонами касаются только шестиугольников;

3. Стороны шестиугольников могут касаться сторон как пяти-, так и шестиугольников.

Если потребовать, чтобы в вершинах соприкасались три фигуры, то получится обычный мяч. Но если это требование изменить, то возможными станут многие другие варианты дизайна.

Сделать это можно с помощью математического аппарата, называемого разветвлённым покрытием (краткую информацию на английском языке о разветвлённом покрытии читайте здесь).

Такое своеобразное развлечение можно назвать научным, ведь футбольный мяч вполне можно назвать математическим объектом. Более того, его модель получила место в классификации геометрических фигур, и называется она "усечённый икосаэдр" (о свойствах этой фигуры можете подробнее почитать тут).

Официальный футбольный мяч Кубка мира-2006. Сделан всего из 14 изогнутых кусочков – математикам тут не особо порезвиться. Впрочем, как знать… (фото с сайта sciencenews.org).

Надо сказать, что с футбольными мячами математики обращаются довольно свободно.

К примеру, Котшик рассказывает, как можно создать "новый" мяч вот так…

Представьте обыкновенный футбольный мяч, собранный из обычных 32 кусочков-граней, наложенных на поверхность Земли так, чтобы одна из вершин находилась на Северном полюсе, другая – на Южном. Прочертите маршрут от полюса до полюса так, чтобы он проходил по сторонам граней. После этого – всего-то! – вытяните получившуюся ломаную линию в прямую – "меридиан", "выпрямляя" стороны граней, образующих линию.

Затем сделайте разрез вдоль одного меридиана и, придерживая полюса на местах, ужимайте поверхность – что может быть проще? – до тех пор, пока она не станет занимать ровно полушарие (западное, например). Затем сделайте копию этой поверхности и покройте ею незакрытую половину сферы (то есть, восточное полушарие).

Дальше ещё проще – сшейте два полушария. Получили новый мячик, у которого пяти— и шестиугольников стало вдвое больше.

"Причина в том, что оба шва от полюса до полюса, как и обе стороны разреза, который мы сделали вначале ещё на обычном мяче, неразличимы, — объясняет Котшик. – Поэтому два получившихся куска подходят друг к другу идеально".

"Свежеиспечённый" мяч на математическом языке и называется разветвлённым покрытием первоначального мяча, а полюса (которые, как вы помните, нужно было держать зафиксированными; вы их крепко держали?) называются точками разветвления.

Обратите внимание, что новый мяч продолжает удовлетворять прежним условиям: он всё так же состоит из пяти— и шестиугольных граней, пятиугольники касаются сторонами только шестиугольников, а стороны шестиугольников примыкают и к тем, и к другим. Поэтапно этот процесс можете изучить на иллюстрации.

Поэтапное удвоение количества граней усечённого икосаэдра. Цветные шарики добавлены, чтобы легче было убедиться, что края разреза идентичны. А грани окрашены в чёрный и белый, чтобы не забывали, с чего, собственно, всё началось (иллюстрация Michael Trott).

Кстати, для этой версии мяча разрезанную поверхность потребуется сжимать не до полусферы а до… Пусть это будет маленьким "заданием на дом".

Существует ещё множество самых разнообразных опытов, в которых происходят такие перемены, которые словами описать труднее.

Например, математик Майкл Тротт (Michael Trott) предложил модификацию, которая называется тройным покрытием сферы Римана, в процессе построения которой из одного мяча формируется новый, имеющий три совпадающие поверхности. То есть, фактически, фигура проходит ряд изменений, которые превращают мяч… сам в себя. В общем, советуем посмотреть ролик (2,68 мегабайта).

Мяч превращается в тор... (иллюстрация Michael Trott).

А гомотопность — не что иное, как свойство этих фигур непрерывным образом деформироваться друг в друга. После совершения этой процедуры края трубы (бывшие некогда разрезами на сфере) соединяются – получается тор. Этот "трюк" вы также можете увидеть в ролике (файл MOV, 4,91 мегабайта).

…и обратно. Но уже другим "путём" (иллюстрация Michael Trott).

Интересно, как математики умело доказывают, что мяч можно получить из самых разнообразных фигур, даже завязанных узлом-трилистником, который, как считается, развязать невозможно.

Другое дело — математика на стыке с футболом – тут разрешено многое. Действительно, на этом ролике (файл MOV; 6,1 мегабайта) видно, что сложную фигуру легко можно превратить в банальный мяч.

Взрыв, и вправду, кажется самым радикальным способом разобрать неразвязываемый узел-трилистник. В самом деле, никакого взрыва не происходит, всё честно (иллюстрация Michael Trott).

А эту модель Майкл Тротт назвал "Дышащий мяч". Так, для условности (иллюстрация Michael Trott).

	Старейший футбольный мяч из вулканизированной резины. Уже порядком испортился, из-за чего напоминает какой-то промежуточный этап математической трансформации обычного мяча. Хранится эта достопримечательность в Национальном зале футбольной славы (National Soccer Hall of Fame) в Онеонте, штат Нью-Йорк (фото с сайта soccerballworld.com).

В общем, как видите, математика и футбол нашли общую точку. И, что приятно, не разветвления, а пересечения. Конечно, учёные тут позволяют себе то, чего в реальности трудно достичь – разрезать и сшивать мяч, растягивать его в тор, закручивать и раскручивать во всякие трилистники (хорошо, что они ещё до самих футболистов не добрались).

Тем не менее, модель самого обычного, родного "круглого" мяча всегда присутствует в изысканиях математиков – либо до, либо после трансформации. И самое главное – ни красная карточка, ни пенальти, ни удаление с поля за это не грозят.

• Антикор: Главу комитета МЧС и начальников двух ДЧС арестовали
  В середине прошлой недели стало известно, что главу комитета и руководителе...
• Проверку паспортов вакцинации у работников хотят узаконить в Казахстане
  Комитет санэпидконтроля подготовил проект совместного приказа, которым внос...
• Алкопикник устроили павлодарцы на берегу Иртыша
  Теперь им грозит наказание за распитие алкоголя в общественном месте. Как р...
• Директора «Казахстан су жолдары» Павлодарского филиала осудили за хищение средств
  Директор Павлодарского филиала РГКП «Казахстан су жолдары» осужден за хищ...
• Полиция Алматы проверяет Esentai Mall после сообщения о минировании
  Полиция Алматы проверяет Esentai Mall после сообщения о минировании, п...
• По новому мосту теперь можно пройтись пешком
  На видеосервисе YouTube появилось видео, как рабочие устанавливают послед...
• VHS умер
  Последний крупный поставщик отказался от производства видеокассет формата ...
• Бумажный дом принесёт дешёвый комфорт миру трущоб
  Прочный, легко собирающийся, долговечный, экологически чистый, оборудованны...
• Выставка Consumer Electronics Show (CES) 2009
  Крупнейшая в мире выставка бытовой и компьютерной техники CES 2009 открылас...

Комментарии: